Définition
\(\triangleright\) Définition vecteur gradient
Soit \(f:\Omega\subset \Bbb R^m\to\Bbb R\) et \(M\in \Omega\) un point.
On appelle vecteur gradient de \(f\) (une fonction scalaire) en \(M\) et l'on note \(\overrightarrow{\mathcal{grad} (f)_M}\) ou \(\overrightarrow{\Delta f}(M)\) le vecteur:
$$\overrightarrow{\mathcal{grad} (f)_M}={{\frac{\partial f}{\partial x}(M)\vec i+\frac{\partial f}{\partial y}(M)\vec j+\frac{\partial f}{\partial z}(M)\vec k}}\qquad \text{Pour }m=3$$
$$\vec{grad}(f)={{\vec\nabla f}}= {{\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial f}{\partial z}\end{pmatrix} }}$$
Liens
Lien entre D.L. Et vecteur gradient
\(\triangleright\) Partie linéaire du D.L. Avec vecteur gradient
Soit \(\overrightarrow{\Delta M}= h\vec i+k\vec j+l\vec k\)
Le partie linéaire du développement limité à l'ordre 1 en \(M_0\) peut s'écrire
$$\begin{align}&\frac{\partial f}{\partial x}(M)h+\frac{\partial f}{\partial y}(M)k+\frac{\partial f}{\partial z}(M)l\\ &=\overrightarrow{\mathcal{grad} (f)_{M_0} }.\overrightarrow{\Delta M}\end{align}$$
(Développement limité)
\(\triangleright\) D.L. Avec le gradient
(Développement limité)
Soit \(\overrightarrow{\Delta M}= \epsilon_x\vec i+\epsilon_y\vec j+\epsilon_z\vec k\)
Le D.L. À l'ordre 1 de \(f\) en \(M_0\) s'écrit:
$$f'(M)={{f(M_0)+\overrightarrow{\mathcal{grad} (f)_M}.\overrightarrow{\Delta M}}}$$
Lien entre différentielle et gradient
\(\triangleright\) Expression du gradient en fonction de la différentielle
On définie le gradient par l'expression:
$$\vec{grad}f.\vec{dM}=df$$
Avec:
Remarque
Le gradient \(\vec{grad}(T)\) est toujours orthogonal aux surfaces \(T=cst\)
\(\triangleright\) Expression du gradient de la coordonnée radiale
Soit \(r\) la coordonnée radiale.
$$\vec{grad}(\frac 1{r^2})={{-\frac{2\vec r}{r^4} }}$$
Avec:- \(\vec{r}\): le vecteur position
Relations
- \(\vec{rot}(\vec{grad(\vec F)})={{\vec 0}}\)
- \(\vec{rot}(\vec{rot}(\vec F))=\vec{grad}(div(\vec F))-\Delta F\)
